概率分布1
什么是概率分布？这是一个定律，它以数学函数的形式告诉我们在一些实验中不同可能结果的概率。对于每个函数，分布可能有一些参数来调整其行为。
当我们计算硬币投掷事件的相对频率时，我们实际上计算了一个所谓经验概率分布。事实证明，世界上许多不确定的过程可以用概率分布来表述。例如，我们的硬币结果是一个伯努利分布，如果我们想计算一个 n 次试验后硬币正面向上的概率，我们可以使用二项式分布。
引入一个类似于概率环境中的变量的概念会方便很多--随机变量。每个随机变量都具有一定的分布。随机变量默认用大写字母表示，我们可以使用 ~ 符号指定一个分布赋给一个变量。
上式表示随机变量 X 服从成功率（正面向上）为 0.6 的伯努利分布。
连续和离散概率分布
概率分布可分为两种：离散分布用于处理具有有限值的随机变量，如投掷硬币和伯努利分布的情形。离散分布是由所谓的概率质量函数（PMF）定义的，连续分布用于处理连续的（理论上）有无限数量的值的随机变量。想想用声音传感器测量的速度和加速度。连续分布是由概率密度函数（PDF）定义的。
这两种分布类型在数学处理上有所不同：通常连续分布使用积分 ∫ 而离散分布使用求和Σ。以期望值为例：
下面我们将详细介绍各种常见的概率分布类型，正如上所说，概率分布可以分为离散型随机变量分布和连续性随机变量分布。离散型随机变量分布常见的有伯努利分布（Bernoulli Distribution）、二项分布（Binomial Distribution）、泊松分布（Poisson Distribution）等，而常见的连续型随机变量分布包括均匀分布（Uniform Distribution）、指数分布（Exponential Distribution）、正态分布等。
常见的数据类型
在解释各种分布之前，我们先看看常见的数据类型有哪些，数据类型可分为离散型和连续型。
离散型数据：数据只能取特定的值，比如，当你掷一个骰子的时候，可能的结果只有 1，2，3，4，5，6 而不会是 1.5 或者 2.45。
连续型数据：数据可以在给定的范围内取任何值，给定的范围可以是有限的或无限的，比如一个女孩的体重或者身高，或者道路的长度。一个女孩的体重可以是 54 kgs，54.5 kgs，或 54.5436kgs。
分布的类型
伯努利分布
最简单的离散型随机变量分布是伯努利分布，我们从这里开始讨论。
一个伯努利分布只有两个可能的结果，记作 1（成功）和 0（失败），只有单次伯努利试验。设定一个具有伯努利分布的随机变量 X，取值为 1 即成功的概率为 p，取值为 0 即失败的概率为 q 或者 1-p。
若随机变量 X 服从伯努利分布，则概率函数为：
成功和失败的概率不一定要相等。比如当我和一个运动员打架的时候，他的胜算应该更大，在这时候，我的成功概率是 0.15，而失败概率是 0.85。
下图展示了我们的战斗的伯努利分布。
如上图所示，我的成功概率=0.15，失败概率=0.85。期望值是指一个概率分布的平均值，对于随机变量 X，对应的期望值为：E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p，而方差为 V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = p – p^2 = p(1-p)
实际上还有很多关于伯努利分布的例子，比如明天是晴天还是雨天，这场比赛中某一队输还是赢，等等。
二项分布
现在回到掷硬币的案例中，当掷完第一次，我们可以再掷一次，也就是存在多个伯努利试验。第一次为正不代表以后也会为正。那么设一个随机变量 X，它表示我们投掷为正面的次数。X 可能会取什么值呢？在投掷硬币的总次数范围内可以是任何非负整数。
如果存在一组相同的随机事件，即一组伯努利试验，在上例中为连续掷硬币多次。那么某随机事件出现的次数即概率服从于二项分布，也称为多重伯努利分布。
任何一次试验都是互相独立的，前一次试验不会影响当前试验的结果。两个结果概率相同的试验重复 n 次的试验称为多次伯努利试验。二项分布的参数为 n 和 p，n 是试验的总次数，p 是每一次试验的成功概率。
根据以上所述，一个二项分布的性质为：
每一次试验都是独立的；
只有两个可能的结果；
进行 n 次相同的试验；
所有试验中成功率都是相同的，失败的概率也是相同的。
二项分布的数学表达式为：
成功概率和失败概率不相等的二项分布看起来如下图所示：
而成功概率和失败概率相等的二项分布看起来如下图所示：
二项分布的平均值表示为 µ = n*p，而方差可以表示为 Var(X) = n*p*q。
泊松分布
如果你在一个呼叫中心工作，一天内会接到多少次呼叫呢？多少次都可能！在呼叫中心一天能接到多少次呼叫可以用泊松分布建模。这里有几个例子：
一天内医院接到的紧急呼叫次数；
一天内地方接到的偷窃事件报告次数；
一小时内光顾沙龙的人数；
一个特定城市里报告的自杀人数；
书的每一页的印刷错误次数。
现在你可以按相同的方式构造很多其它的例子。泊松分布适用于事件发生的时间和地点随机分布的情况，其中我们只对事件的发生次数感兴趣。泊松分布的主要特点为如下：
任何一个成功事件不能影响其它的成功事件；
经过短时间间隔的成功概率必须等于经过长时间间隔的成功概率；
时间间隔趋向于无穷小的时候，一个时间间隔内的成功概率趋近零。
在泊松分布中定义的符号有：
λ是事件的发生率；
t 是事件间隔的长度；
X 是在一个时间间隔内的事件发生次数。
设 X 是一个泊松随机变量，那么 X 的概率分布称为泊松分布。以µ表示一个时间间隔 t 内平均事件发生的次数，则 µ=λ*t；
X 的概率分布函数为：
泊松分布的概率分布图示如下，其中µ为泊松分布的参数：
下图展示了均值增加时的分布曲线的变化情况：
如上所示，当均值增加时，曲线向右移动。泊松分布的均值和方差为：
均值：E(X) = µ
方差： Var(X) = µ